Les probabilités vous donnent le tournis ? Voici quelques rappels de base qui vous aideront à domestiquer le hasard. À vous de jouer !

Battez bien les cartes !

Quels paris peut-on prendre sur une carte à tirer ? Tous se traduisent en termes de parties de l'ensemble des 52 cartes :

- Tirer un cœur : l'ensemble des 13 cartes portant un cœur.
- Tirer un roi : l'ensemble des 4 cartes portant un roi.
- Tirer l'as de cœur : l'ensemble réduit à une carte : {as de cœur}.

Avec la brutalité d'un prof de maths commençant un chapitre en « parachutant » des définitions, nous dirons :

- On donne un ensemble (pour le moment fini), qu'on nomme l'univers.
- Les éléments de cet ensemble s'appellent des éventualités.
- Les parties de cet ensemble sont appelées des événements : un événement est donc un ensemble d'éventualités.
À chaque éventualité est attaché un nombre positif (1/52 pour notre jeu de cartes bien battu), qu'on appelle sa probabilité, et à toute événement, on attache la somme des probabilités des éventualités qu'il contient, qu'on appelle encore sa probabilité. Enfin, on convient que la probabilité de l'univers est 1.

Probabilités totales...

Prenons des événements A et B, par exemple :
- A : tirer un carreau.
- B : tirer un trèfle.
L'événement « tirer un carreau ou un trèfle » correspond à l'ensemble de 13 + 13 = 26 cartes qui sont soit un carreau, soit un trèfle. En termes de probabilités, on écrira : P(A ou B) = P(A) + P(B).
Mais ce raisonnement ne vaut que parce qu'aucune carte n'est à la fois carreau et trèfle : autrement dit parce qu'il s'agit de la réunion de deux ensembles sans éléments communs. Ici, on dit plutôt qu'il s'agit d'événements qui n'ont aucune éventualité en commun ; on dit que de tels événements sont incompatibles. C'est la formule dite des probabilités totales :
Lorsque A et B sont des événements incompatibles, P(A ou B) = P(A) + P(B)

... et probabilités composées

Prenons des événements C et D, par exemple :
- C : tirer un carreau.
- D : tirer un valet.
La conjonction (C et D) de ces événements, l'événement « tirer une carte qui est à la fois un carreau et un valet » correspond à l'ensemble réduit à une carte, le valet de carreau, dont la probabilité est 1/52. Et on remarque que 1/52 est le produit de la probabilité 1/4 de tirer un carreau et 1/13 de tirer un valet.
Cette règle n'est pas universelle ; si on avait choisi les événements :
- A : tirer un carreau ;
- B : tirer un trèfle,
la probabilité de tirer une carte qui soit à la fois un carreau et un trèfle n'aurait pas été 1/4 x 1/4... puis qu'elle est nulle !

Lorsque cette règle du produit s'applique, les événements concernés sont dits indépendants. C'est la formule dite des probabilités composées :
Lorsque A et B sont des événements indépendants, P(A et B) = P(A) x P(B)

Sophie de Tarlé