Algorithmes et techniques avancees de programmation

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Niveau: Supérieur, Master Algorithmes et techniques avancees de programmation Universite Pierre et Marie Curie Master de Sciences et Technologies Mention Mathematiques et Applications Master I : Informatique scientifique en C++ Travaux diriges I. DANAILA extrait du livre : I. Danaila, F. Hecht, O. Pironneau, Simulation numerique en C++, Dunod, 2003 1.1 La methode du gradient conjugue Nous allons montrer dans cette section comment utiliser les classes RNM pour programmer l'algo- rithme du gradient conjugue preconditionne (GCP) pour resoudre le systeme lineaire Ax = b, avec A ? IRn?n une matrice symetrique, definie positive. Rappelons d'abord le principe et les principales caracteristiques de l'algorithme du gradient conjugue (GC) (pour les developpements theoriques de la methode, nous renvoyons a [?, ?] par exemple). Si a, b ? IRn sont deux vecteurs colonnes, on va noter (a, b) = aT b leur produit scalaire euclidien. Considerons la fonctionnelle quadratique E : IRn ? IR E(x) = 1 2 (Ax, x)? (b, x), (1.1) dont le gradient vaut ?E(x) = (Ax ? b). Le minimum de cette fonctionnelle est atteint pour le point x¯ ? IRn qui annule ?E(x), donc verifiant Ax¯ = b. La methode du gradient conjugue fait partie des methodes de descente, qui ont comme principe commun la recherche de x¯ suivant le procede iteratif x0 donne, xi+1 = xi + ?idi, (1.2) avec di ? IRn

  • matrice symetrique
  • b?
  • algorithme sans preconditionnement
  • ?hi ?
  • ax0 ?
  • methode du gradient
  • di ?


Matrice symétrique

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