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La géométrie dans l’espace
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La cellule contenu de l’Etudiant,
publié le 06 mars 2015
3 min
La géométrie dans l’espace
1. Comment représenter une droite ?
On souhaite représenter une droite D contenant un point \\(A\left( {x}_{a};{y}_{a};{z}_{a}\right))\\et de vecteur directeur \\(\vec{d}\left( a; b; c\right))\\
> Représentation par un vecteur
Soit le point M(x; y; z) appartenant à D ,
\\(\vec{AM}=\vec{td})\\
\\(t\in R)\\
\\(\vec{AM}=\vec{td})\\
\\(t\in R)\\
> Représentation par des équations paramétriques
Cette représentation comporte tous les points de D .
Pour représenter un segment, il suffit de contraindre dans un ensemble plus réduit, par exemple : [-6;27]
Pour représenter un segment, il suffit de contraindre dans un ensemble plus réduit, par exemple : [-6;27]
2. Comment représenter un plan ?
On souhaite représenter un plan P dont on connait un point \\(A\left( {x}^{A};{y}^{A};{z}^{A}\right))\\et un vecteur normal \\(\vec{n}\left( a; b; c\right))\\.
Représenter ce plan consiste à représenter en équation tous les points M(x;y;z) du plan.
Ces points répondent à une équation cartésienne de la forme \\(ax+by+cz=0)\\ .
Représenter ce plan consiste à représenter en équation tous les points M(x;y;z) du plan.
Ces points répondent à une équation cartésienne de la forme \\(ax+by+cz=0)\\ .
Etape 1 :
On pose \\(ax+by+cz+d=0)\\
a, b et c étant les coordonnées de \\(\vec{n})\\
On pose \\(ax+by+cz+d=0)\\
a, b et c étant les coordonnées de \\(\vec{n})\\
Etape 2 :
On remplace x, y et z par les coordonnées de A, ce qui permet de calculer d par résolution d'équation.
Exemple :
\\(\vec{u})\\(1;4;1) et A(1;0;1)
On remplace x, y et z par les coordonnées de A, ce qui permet de calculer d par résolution d'équation.
Exemple :
\\(\vec{u})\\(1;4;1) et A(1;0;1)
Etape 1 :
L'équation est de la forme \\(1x+4y+1z+d=0)\\
L'équation est de la forme \\(1x+4y+1z+d=0)\\
Etape 2 :
On remplace x, y et z par les coordonnées de A soit :
\\(1*1+4*0+1*1+d=0)\\
\\(d=-2 )\\
L'équation de plan P est donc
\\(1x+4y+1z-2=01 )\\
Ou
\\(x+4y+z-2=0 )\\
On remplace x, y et z par les coordonnées de A soit :
\\(1*1+4*0+1*1+d=0)\\
\\(d=-2 )\\
L'équation de plan P est donc
\\(1x+4y+1z-2=01 )\\
Ou
\\(x+4y+z-2=0 )\\
3. Déterminer l'intersection de deux droites
Astuce 1 :
Les coordonnées d'un vecteur directeur de D et D' sont les coefficients attribués à "t" dans la représentation paramétrique.
Les coordonnées d'un vecteur directeur de D et D' sont les coefficients attribués à "t" dans la représentation paramétrique.
Astuce 2 :
Résoudre D =D' revient à faire :
Résoudre D =D' revient à faire :
3 équations pour 2 inconnues.
On utilise les deux premières pour la résolution et la troisième pour vérifier la cohérence.
On utilise les deux premières pour la résolution et la troisième pour vérifier la cohérence.
4. Déterminer l'intersection de deux plans
On souhaite étudier l'intersection de deux plans P et P' de vecteurs normaux n et n ' .
Astuce 1 :
Rechercher un point d'intersection revient à fixer les paramètres x, y et déterminer z pour trouver un point du premier plan.
On remplace ensuite les coordonnées trouvées dans l'équation du deuxième plan et on vérifie que cela fait bien 0.
Rechercher un point d'intersection revient à fixer les paramètres x, y et déterminer z pour trouver un point du premier plan.
On remplace ensuite les coordonnées trouvées dans l'équation du deuxième plan et on vérifie que cela fait bien 0.
Astuce 2 :
Pour résoudre
\\(\left\{\begin{matrix}
ax+by+cz+d=0\\
a'x+b'y+c'z+d'=0
\end{matrix}\right.)\\
Pour résoudre
\\(\left\{\begin{matrix}
ax+by+cz+d=0\\
a'x+b'y+c'z+d'=0
\end{matrix}\right.)\\
La méthode par combinaison est la plus appropriée.
Le résultat doit être une équation et non un point.
Le résultat doit être une équation et non un point.
5. Déterminer l'intersection de trois plans
On souhaite étudier l'intersection de 3 plans p, p ' et p'' de vecteurs normaux \\(\vec{n};\vec{n'};\vec{n''} )\\