La géométrie dans l’espace

Mathématiques
Terminale S

La géométrie dans l’espace



1. Comment représenter une droite ?

 

On souhaite représenter une droite D contenant un point \\(A\left( {x}_{a};{y}_{a};{z}_{a}\right))\\et de vecteur directeur \\(\vec{d}\left( a; b; c\right))\\
 

> Représentation par un vecteur
 

Soit le point M(x; y; z) appartenant à D ,


\\(\vec{AM}=\vec{td})\\  
\\(t\in R)\\ 

 

> Représentation par des équations paramétriques

null

Cette représentation comporte tous les points de D .

Pour représenter un segment, il suffit de contraindre dans un ensemble plus réduit, par exemple : [-6;27] .




2. Comment représenter un plan ?

 

On souhaite représenter un plan P dont on connait un point \\(A\left( {x}^{A};{y}^{A};{z}^{A}\right))\\et un vecteur normal  \\(\vec{n}\left( a; b; c\right))\\. 

Représenter ce plan consiste à représenter en équation tous les points M(x;y;z) du plan.

Ces points répondent à une équation cartésienne de la forme \\(ax+by+cz=0)\\ .

 

Etape 1 :
 

On pose \\(ax+by+cz+d=0)\\
a, b et c étant les coordonnées de \\(\vec{n})\\

 

Etape 2 :
 

On remplace x, y et z par les coordonnées de A, ce qui permet de calculer d par résolution d'équation.
 

Exemple :

\\(\vec{u})\\(1;4;1) et A(1;0;1)




Etape 1 :
 

L'équation est de la forme \\(1x+4y+1z+d=0)\\

Etape 2 :
 

On remplace x, y et z par les coordonnées de A soit :
\\(1*1+4*0+1*1+d=0)\\
\\(d=-2 )\\
 

L'équation de plan P est donc
\\(1x+4y+1z-2=01 )\\

Ou

\\(x+4y+z-2=0 )\\




3. Déterminer l'intersection de deux droites



null




Astuce 1 :
 

Les coordonnées d'un vecteur directeur de D et D' sont les coefficients attribués à "t "
dans la représentation paramétrique.


Astuce 2 :
 

Résoudre D =D' revient à faire :

 null


3 équations pour 2 inconnues.
On utilise les deux premières pour la résolution et la troisième pour vérifier la cohérence.



4. Déterminer l'intersection de deux plans
 

On souhaite étudier l'intersection de deux plans P et P' de vecteurs normaux n et n ' .


null


Astuce 1 :
 

Rechercher un point d'intersection revient à fixer les paramètres x, y et déterminer z pour
trouver un point du premier plan.
On remplace ensuite les coordonnées trouvées dans l'équation du deuxième plan et on vérifie que
cela fait bien 0.


Astuce 2 :
 

Pour résoudre 


\\(\left\{\begin{matrix}
ax+by+cz+d=0\\
a'x+b'y+c'z+d'=0
\end{matrix}\right.)\\


La méthode par combinaison est la plus appropriée.
Le résultat doit être une équation et non un point.



5. Déterminer l'intersection de trois plans
 

On souhaite étudier l'intersection de 3 plans p, p ' et p'' de vecteurs normaux \\(\vec{n};\vec{n'};\vec{n''} )\\

null

 

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Maman publié le 21/09/2019

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