Resume Puisque ZF est une theorie du premier ordre on peut en considerer des modeles abstraits le theoreme de completude permet d'utiliser une methode

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Niveau: Supérieur, Master CHAPITRE IX Modeles de ZF Resume. o Puisque ZF est une theorie du premier ordre, on peut en considerer des modeles abstraits; le theoreme de completude permet d'utiliser une methode semantique de demonstration : une formule ensembliste est prouvable a partir de ZF si et seulement si elle est vraie dans tous les modeles de ZF. o Faute de pouvoir l'exprimer au premier ordre, on ne peut exclure l'existence d'entiers non standards dans les modeles de ZF. o Le theoreme d'incompletude de Godel interdit qu'on puisse construire ex nihilo un modele de ZF. o On peut construire sur N une relation E telle que (N, E) est modele de ZFfini ; les systemes ZFfini et PA2 ont la meme force. o Si M est un modele de ZF, « se placer dans M » consiste a convenir que toutes les notions ensemblistes referent a M. o Partant d'un modele de ZF, on etudie les sous-structures (M,?) ou M est un ensemble ou une classe transitive du modele ; alors (V,?) est extension finale de (M,?), et un grand nombre de notions ensemblistes sont absolues pour M, c'est-a-dire ont la meme interpretation dans les deux structures. o La structure (V?,?) est modele de ZFC moins l'axiome de l'infini ; ceci entra?ne que ZFC?Inf ne prouve pas Inf, et, par le theoreme d'incompletude de Godel, que la consistance de ZFC?Inf n'entra?ne pas celle de ZFC.

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