SUITES
Suites
Introduites par Fibonacci au XIIIe siècle, les suites sont utilisées pour représenter les phénomènes récurrents et les étudier.
Très utilisées en biologie et en finance, elles permettent d'étudier tout phénomène récurrent.
1. Suites arithmétiques
Pour déterminer qu'une suite est arithmétique, on calcule \\({U}_{n+1}-{U}_{n})\\
Si le résultat est un réel, c'est \\(r)\\ , la suite est arithmétique de raison r.
Lexique :
\\({U}_{n})\\: valeur de la suite pour le rang \\(n)\\
\\({U}_{n+1})\\ : valeur de la suite pour le rang \\(n+1)\\
\\(r)\\: raison
\\(S)\\: somme
Astuce :
Dans le calcul de la somme, il est nécessaire de faire attention au nombre de termes. En effet par exemple, pour une suite des termes 0 à 29, il y a 30 termes.
La somme est parfois appelée série.
2. Suites géométriques
Pour déterminer qu'une suite est géométrique, on calcule \\(\frac{{U}_{n+1}}{{U}_{n}})\\
Si le résultat est un réel, c'est \\(q)\\ , la suite est géométrique de raison \\(q)\\ .
Astuce :
Dans le calcul de \\(\frac{{U}_{n+1}}{{U}_{n}})\\ , essayer de factoriser par un réel.
Par exemple :
\\(\frac{4{U}_{n}+8}{{U}_{n}+2}=\frac{4\left({U}_{n}+2 \right)}{{U}_{n}+2}=4)\\
3. Limites de suites
4. Convergences
Si une suite tend vers un réel \\("l")\\ , elle est convergente en \\("l")\\.
Sinon, se référer à ce tableau :
On pourra utiliser aussi les théorèmes de comparaison comme pour les limites de fonction.
5. Suites adjacentes
Pour démontrer que deux suites sont adjacentes :
Etape 1 :
Démontrer que l'une est croissante et l'autre décroissante
Etape 2 :
Calculer \\({U}_{n}-{V}_{n})\\ en faisant tendre \\(n)\\ vers l'infini.
Si la limite est 0, les suites sont adjacentes et sont donc toutes les deux convergentes vers le même réel.
6. Suites arithmético-géométrique
Une suite arithmético-géométrique est une suite définie par :
\\({U}_{n+1}=aUn+b)\\
Il n'existe pas de terme général et le principe des exercices consiste souvent à prouver que la suite est effectivement arithmético-géométrique.
Ex : On place 5 000 € à 2 % l'an et tous les ans on ajoute 100 € sur ce livret
Une augmentation de 2 % correspond à 1,02
On est donc bien sous la forme \\({U}_{n+1}=aUn+b)\\ => la suite est arithmético-géométrique
Remarques :
Si \\(a=1)\\, il s'agit d'une suite de la forme \\({U}_{n+1}={U}_{n}+b)\\donc d'une suite arithmétique de raison \\(r=b)\\
Si \\(b=0)\\, il s'agit d'une suite de la forme \\({}_{n+1}=a\ast {U}_{n})\\ donc d'une suite géométrique de raison \\(q=a)\\
On étudie rarement les suites arithmético-géométriques comme telles. On utilise plutôt une suite auxiliaire donnée qui le plus souvent est géométrique.
