Suites
Très utilisées en biologie et en finance, elles permettent d'étudier tout phénomène récurrent.
1. Suites arithmétiques
Pour déterminer qu'une suite est arithmétique, on calcule \\({U}_{n+1}-{U}_{n})\\
Si le résultat est un réel, c'est \\(r)\\ , la suite est arithmétique de raison r.
\\({U}_{n})\\: valeur de la suite pour le rang \\(n)\\
\\({U}_{n+1})\\ : valeur de la suite pour le rang \\(n+1)\\
\\(r)\\: raison
\\(S)\\: somme
Dans le calcul de la somme, il est nécessaire de faire attention au nombre de termes. En effet par exemple, pour une suite des termes 0 à 29, il y a 30 termes.
La somme est parfois appelée série.
Pour déterminer qu'une suite est géométrique, on calcule \\(\frac{{U}_{n+1}}{{U}_{n}})\\
Si le résultat est un réel, c'est \\(q)\\ , la suite est géométrique de raison \\(q)\\ .
Dans le calcul de \\(\frac{{U}_{n+1}}{{U}_{n}})\\ , essayer de factoriser par un réel.
\\(\frac{4{U}_{n}+8}{{U}_{n}+2}=\frac{4\left({U}_{n}+2 \right)}{{U}_{n}+2}=4)\\
4. Convergences
Si une suite tend vers un réel \\("l")\\ , elle est convergente en \\("l")\\.
Sinon, se référer à ce tableau :
On pourra utiliser aussi les théorèmes de comparaison comme pour les limites de fonction.
5. Suites adjacentes
Pour démontrer que deux suites sont adjacentes :
Démontrer que l'une est croissante et l'autre décroissante
Calculer \\({U}_{n}-{V}_{n})\\ en faisant tendre \\(n)\\ vers l'infini.
Si la limite est 0, les suites sont adjacentes et sont donc toutes les deux convergentes vers le même réel.
6. Suites arithmético-géométrique
Une suite arithmético-géométrique est une suite définie par :
\\({U}_{n+1}=aUn+b)\\
Il n'existe pas de terme général et le principe des exercices consiste souvent à prouver que la suite est effectivement arithmético-géométrique.
Ex : On place 5 000 € à 2 % l'an et tous les ans on ajoute 100 € sur ce livret
Une augmentation de 2 % correspond à 1,02
On est donc bien sous la forme \\({U}_{n+1}=aUn+b)\\ => la suite est arithmético-géométrique
• Si \\(a=1)\\, il s'agit d'une suite de la forme \\({U}_{n+1}={U}_{n}+b)\\donc d'une suite arithmétique de raison \\(r=b)\\
• Si \\(b=0)\\, il s'agit d'une suite de la forme \\({}_{n+1}=a\ast {U}_{n})\\ donc d'une suite géométrique de raison \\(q=a)\\
• On étudie rarement les suites arithmético-géométriques comme telles. On utilise plutôt une suite auxiliaire donnée qui le plus souvent est géométrique.
