SUITES ET RÉCURRENCES.
Suites et récurrences.
Introduites par Fibonacci au XIIIe siècle, les suites sont utilisées pour représenter les phénomènes récurrents et les étudier.
Très utilisées en biologie et en finance, elles permettent d'étudier tout phénomène récurrent.
1. Suites arithmétiques
Pour déterminer qu'une suite est arithmétique, on calcule \\({U}_{n+1}-{U}_{n})\\
Si le résultat est un réel, c'est \\(r)\\ , la suite est arithmétique de raison r.
\\({U}_{n})\\: valeur de la suite pour le rang \\(n)\\
\\({U}_{n+1})\\ : valeur de la suite pour le rang \\(n+1)\\
\\(r)\\: raison
\\(S)\\: somme\\(n)\\:rang du terme
Astuce :
Dans le calcul de la somme, il est nécessaire de faire attention au nombre de termes. En effet par exemple, pour une suite des termes 0 à 29, il y a 30 termes.
La somme est parfois appelée SERIE.
2. Suites géométriques
Pour déterminer qu'une suite est géométrique, on calcule \\(\frac{{U}_{n+1}}{{U}_{n}})\\
Si le résultat est un réel, c'est \\(q)\\ , la suite est géométrique de raison \\(q)\\ .
Dans le calcul de \\(\frac{{U}_{n+1}}{{U}_{n}})\\ , essayer de factoriser par un réel.
\\(\frac{4{U}_{n}+8}{{U}_{n}+2}=\frac{4\left({U}_{n}+2 \right)}{{U}_{n}+2}=4)\\
3. Limites de suites
4. Convergences
Si une suite tend vers un réel \\("l")\\ , elle est convergente en \\("l")\\.
Sinon, se référer à ce tableau :
On pourra utiliser aussi les théorèmes de comparaison comme pour les limites de fonction.
5. Suites adjacentes
Pour démontrer que deux suites sont adjacentes :
Etape 1 :
Démontrer que l'une est croissante et l'autre décroissante
Etape 2 :
Calculer \\({U}_{n}-{V}_{n})\\ en faisant tendre \\(n)\\ vers l'infini.
Si la limite est 0, les suites sont adjacentes et sont donc toutes les deux convergentes vers le même réel.
6. Raisonnement par récurrence
Un raisonnement par récurrence sert à démontrer une propriété « de proche en proche ».
Etape 1 : Initialisation
On commence par prouver la propriété vraie au rang 0 (ou 1). Cette étape s'appelle l'initialisation
Etape 2 : Hérédité
On admet que la propriété est vraie au rang et on se sert de cette supposition pour prouver qu'elle est vraie au rang n+1.
Etape 3 : Conclusion
Cette étape souvent oubliée est très importante
On conclut en indiquant :
La propriété est vraie au rang initial
Si la propriété est vraie au rang n alors elle est vraie au rang n+1.
Donc d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout \\(n\in N)\\.
