Théorème de Pythagore : 3 minutes pour bien le comprendre
Le cours de géométrie sur le théorème de Pythagore va vous marquer longtemps, car l’énoncé est assez simple à retenir. Pour ce qui est des applications concrètes, c’est plus compliqué. Suivez le guide pour enfin comprendre à quoi ça sert de calculer une hypoténuse.
Mathématiques et théorème de Pythagore : énoncé et calcul
Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur du côté le plus long d’un triangle rectangle, que l’on appelle aussi l'hypoténuse. Ne prenez pas vos jambes à votre cou, car vous en aurez besoin pour appliquer le théorème. On vous explique.
Le théorème de Pythagore ne doit pas être confondu avec le théorème de Thalès !
Définition : Quel est l’énoncé de la propriété de Pythagore et sa formule ?
Selon Pythagore, dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux plus petits côtés, aussi appelés les jambes, est égale au carré de l'hypoténuse (le côté le plus long). En d'autres termes, si nous désignons par a, b et c les longueurs respectives de chaque côté du triangle, le théorème de Pythagore indique que a² + b² = c².
Comment calculer l'hypoténuse ?
L'hypoténuse est le côté opposé de l’angle droit du triangle rectangle, le côté le plus long. Selon le théorème de Pythagore, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés à angle droit (les jambes).
Exemple :
Qu’est-ce que la réciproque dans le théorème de Pythagore ?
La réciproque du théorème de Pythagore consiste à dire que si le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle. Autrement dit, c’est une méthode pour vérifier que l’on a bien affaire à un triangle rectangle.
Exemple :
Histoire et applications du théorème de Pythagore
Lorsqu’on aborde cette notion en classe de 4e, on se demande souvent si on croise des hypoténuses à tous les coins de rue. Et bien oui ! C’est même la base de la construction, car comme on ne peut pas toujours tout mesurer dans la réalité, il faut alors utiliser des théorèmes géométriques, tels que celui de Pythagore, pour déduire des grandeurs. Voici ce qu’il faut retenir de cette découverte et de ses applications aujourd’hui.
Qui est Pythagore ?
Pythagore était un personnage influent de la Grèce antique qui a fondé sa propre école appelée « le demi-cercle ». Cette dernière englobait des idéaux philosophiques tels que la justice, la modération et l'harmonie, qui se reflétaient dans les enseignements de Pythagore. En mathématiques spécifiquement, elle a développé plusieurs théories, dont le théorème de Pythagore.
Selon la légende, Pythagore aurait été inspiré par l'observation d'un carré dont la diagonale créait une surface deux fois plus grande que le carré original. Il s'est servi de cette observation pour construire un triangle rectangle tridimensionnel dont les deux côtés égaux se rejoignent à angle droit avant de déduire sa célèbre équation : « le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés de la catheti » ou simplement « a² + b² = c² », comme on le dit aujourd'hui.
Démonstration : Comment Pythagore a-t-il prouvé son théorème ?
D’autres soutiennent que Pythagore n’a rien inventé, mais a simplement théorisé ses observations des méthodes de construction égyptienne. Il semble que Pythagore serait en Égypte vers 547 av.J.-C et y aurait séjourné une vingtaine d'années. Il aurait été intrigué par la façon dont les Égyptiens utilisaient une corde pour redéfinir les limites des champs après une inondation, ou pour construire des angles droits, grâce à des équerres en corde.
Dans cette technique, la corde comporte des nœuds disposés à égale distance les uns des autres, exactement 13 nouées. Les Égyptiens tendent la corde sur trois piquets afin de matérialiser un triangle rectangle avec chacun des côtés comportant 3,4 et 5 nœuds.
Pythagore cherche alors à comprendre le fondement mathématique d'un tel résultat. Après avoir retourné le problème dans tous les sens, il trouve que la formule mathématique suivante fonctionne : (3x3) +(4x4) =5x5.
Pythagore dans la géométrie euclidienne
Bien que la version originale du théorème de Pythagore soit plutôt simple, au fil du temps les mathématiciens ont trouvé des preuves alternatives qui impliquent des concepts mathématiques plus complexes tels que l'intégration, les formules de périmètre ou d'aire.
Ces nouvelles preuves étaient basées sur la géométrie axiomatique d'Euclide qui avance que tous les triangles doivent avoir certaines propriétés comme la capacité de former des cercles ou d'avoir des angles internes spécifiques, etc. Toutes ces nouvelles preuves ont démontré de manière concluante que le théorème de Pythagore est vrai.
De nombreux mathématiciens considèrent d’ailleurs aujourd'hui ce théorème comme l'une des plus anciennes vérités mathématiques !
Exemples : Quelles sont les applications concrètes du théorème de Pythagore ? A quoi sert-il ?
La théorie du philosophe grec a eu d'innombrables applications au cours de l'histoire dans divers domaines tels que la navigation, l'astronomie, l'arpentage et la théorie musicale, pour n'en citer que quelques-uns ! Sa capacité à décrire les relations entre les longueurs peut être illustrée en construisant une image en 3D ou un dessin sur papier.
Le théorème de Pythagore a également trouvé sa place dans la vie quotidienne ! Les architectes l'utilisent pour concevoir des bâtiments, les charpentiers pour couper le bois, les ingénieurs pour construire des ponts, les artistes pour créer des formes parfaites, les astronomes pour calculer la position des étoiles, etc.
Et c'est aussi grâce à Pythagore que vous pouvez profiter d’une musique harmonieuse. Celui-ci a établi la première loi de l'acoustique musicale : il a en effet observé que deux cordes tendues, dont la longueur de l'une est la moitié de celle de l'autre, sonnent parfaitement. De cette constatation, il a tenté de comparer d'autres longueurs de cordes. Ses observations sont à l'origine de toute la musique occidentale de l'Antiquité à nos jours !
Plus récemment, le théorème de Pythagore a été largement appliqué dans les équations de physique décrivant le mouvement et l'accélération, où les distances entre les objets doivent être déterminées avec précision pour les calculs concernant la vitesse, l'accélération et les vecteurs de force.
En quelle classe apprend-on le théorème de Pythagore ?
C’est en 4e qu’on aborde le théorème de Pythagore. Cependant, la plupart des élèves de collège en ont déjà entendu parler avant, car c’est un cours qui a souvent marqué leurs parents.
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Vous pensiez que le théorème de Pythagore ne servait qu’aux charpentiers et aux maçons ? Détrompez-vous, c’est même la base qui rend possible l'existence du GPS. On espère donc que vous saurez désormais prendre la bonne direction dans vos révisions de mathématiques, et réduire la distance qui vous sépare de la géométrie.
