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Qu'est-ce qu'une bissectrice ? Comment la tracer ?

bissectrice
bissectrice © Adobe Stock
Par La cellule contenu de l’Etudiant, mis à jour le 15 mars 2023
7 min

La bissectrice est la demi-droite qui sépare un angle en deux angles égaux. Elle fait partie des droites remarquables du triangle, au côté de la médiane, de la médiatrice et de la hauteur. Après avoir lu cet article, vous saurez, à tous les coups, comment diviser un angle en deux parts égales.

Qu’est-ce qu’une droite bissectrice ?

Une droite bissectrice fait partie des droites remarquables du triangle. C’est la demi-droite qui partage un angle en deux parts égales : c'est un axe de symétrie. Tous les points qui composent la droite bissectrice sont situés à égale distance des deux côtés de l’angle. Avant d’entrer dans les détails, voyons d’abord quelles sont les différentes droites remarquables.
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Quelle différence entre bissectrice et médiatrice ?

La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment, et qui lui est perpendiculaire. La bissectrice est une demi-droite qui coupe un angle en deux. En fait, la médiatrice est la bissectrice d’un angle plat, à 180°.
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Qu’est-ce qu’une droite remarquable ?

Les droites remarquables d’un triangle possèdent des propriétés particulières. Elles sont intéressantes à observer en géométrie, car elles conservent les mêmes propriétés, quel que soit le triangle.

Quelles sont les 4 droites remarquables d’un triangle ?

Il existe quatre différents types de droites remarquables dans un triangle :
  • la médiatrice : c’est la droite qui coupe un segment en son milieu perpendiculaire.

  • la médiane : c’est la droite qui rejoint un sommet du triangle avec le milieu du segment opposé.

  • la hauteur : c’est la droite qui passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé.

  • et la bissectrice.

Voyons la définition de cette dernière droite remarquable.

La définition de la bissectrice d’un angle

La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux. En langage géométrique, cela donne : la demi-droite [Oz) est la bissectrice de l’angle xÔy.

Quelles sont les propriétés d’une droite bissectrice ?

Cela signifie que si un point M est situé sur une droite bissectrice, il sera situé à la même distance des deux côtés opposés. La bissectrice permet donc de définir un axe de symétrie. Si vous pliez une feuille de papier triangulaire en deux en suivant la bissectrice, les deux côtés se superposent parfaitement.
La droite bissectrice a d’autres propriétés. Le théorème de la bissectrice intérieure d’un triangle permet de déduire un rapport de proportionnalité. Il affirme que dans un triangle, la bissectrice issue d’un angle intérieur divise le côté opposé en deux segments dont le rapport des longueurs est égal au rapport des longueurs des côtés adjacents. Il existe d’autres propriétés de la bissectrice, telles que le cercle inscrit dans un triangle.

Bissectrices et cercles inscrits dans un triangle

L'énoncé de cette propriété est la suivante : les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes. Leur point de concours, ou intersection (I), est à égale distance (d) des trois côtés du triangle. L'intersection des trois bissectrices des angles d'un triangle est le centre du cercle inscrit au triangle.

La construction de la bissectrice d’un angle AÔC

Il existe deux méthodes pour tracer la bissectrice d’un angle : le compas et le rapporteur. La méthode au compas est parfaitement juste, car elle est géométrique, tandis que celle au rapporteur est une méthode approximative. Voici le détail de ces deux techniques étape par étape.

Comment tracer la bissectrice d'un angle au rapporteur ?

Avec un rapporteur, on peut mesurer l'angle AÔC dont on veut tracer la bissectrice.
Pour diviser cet angle par deux, vous placerez un point quelconque M tel que la longueur AÔM ou la longueur MÔC correspond à la moitié de AÔC. La droite (ÔM) est la bissectrice de l'angle AÔC. Cette méthode de construction à la règle et au rapporteur est approximative.
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Comment faire une bissectrice au compas ?

1. Placez la pointe du compas sur le sommet de l'angle (Ô) et tracez un arc de cercle qui coupe les deux côtés de l'angle.
2. Placez ensuite la pointe du compas sur une intersection entre l'arc de cercle et l’un des côtés de l'angle (ÔA).
3. Dessinez un nouvel arc dans l'ouverture de l'angle.
4. Refaites la même chose en partant de l’intersection de l’autre côté de l’angle (ÔC).
5. L’intersection des deux arcs de cercle formés au milieu de l’angle vous donne le point M
6. Tracez une droite entre Ô et M : c’est la bissectrice de l’angle AÔC.
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Pourquoi couper un angle en deux ?

Maintenant que vous maîtrisez parfaitement la méthode pour tracer une bissectrice, vous vous demandez peut-être si cela n’est pas plutôt une manière qu’ont les professeurs de mathématiques de couper les cheveux en quatre. Après tout, qui a besoin de partager deux parts exactement égales, à part deux frères et sœurs affamés devant une portion de pizza ?

À quoi sert la droite bissectrice ?

La bissectrice permet de calculer des rapports de longueur dans un triangle, en utilisant le théorème de Thalès. Cela permet de mesurer des hauteurs par exemple, quand on ne peut pas utiliser un instrument de mesure, par exemple, une très grande pyramide.
La géométrie du triangle trouve de nombreuses applications dans notre quotidien, dans la construction, mais aussi dans les techniques qui nécessitent de calculer des rapports de distances et de longueurs, par exemple l’optique ou encore la géolocalisation.
Saviez-vous que les tennismen utilisent la théorie des angles ? Derrière ce nom un peu barbare se cache un concept développé par Henri Cochet, grand joueur et vainqueur de 7 tournois du Grand Chelem et de 6 coupes Davis. Cette théorie a pour but d’optimiser le replacement du tennisman pour économiser des efforts dans les déplacements. Henri Cochet indique que, dans un match de tennis, le point de replacement optimal est situé sur la bissectrice de l’angle formé par les zones extrêmes que peut atteindre ton adversaire. Vous voyez que la bissectrice est vraiment une notion tout terrain !

Quand utiliser une demi-droite pour découper deux angles ?

La droite se prolonge de chaque côté du segment, alors que la demi-droite ne se prolonge que d’un côté. Concrètement, quand je trace un segment à partir du point Ô de l’angle (Origine de l’angle), si je ne le prolonge que du côté inversé, il s'agit d’une demi-droite. Cette demi-droite sera une bissectrice si elle passe par le point situé à égale distance des deux jambes de mon angle. Lorsqu’on veut découper une part de gâteau ou plier en deux un triangle en papier, en réalité, on utilise donc une demi-droite bissectrice, et non une droite.

La bissectrice fait partie des premières notions abordées autour de la géométrie du triangle. Si vous maîtrisez ses propriétés et sa construction, vous pourrez plus facilement comprendre les autres théorèmes autour du triangle, tels que le théorème de Thalès, ou encore la droite des milieux.

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