DÉRIVATION ET VARIATIONS
Dérivation et variations
La dérivée permet de d'étudier les variations d'une fonction sur son domaine de définition.
1. Dérivées et calcul de dérivées
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2. Utilisation de la dérivée
En terminale ES, la dérivée sert à déterminer les variations de la fonction.
Pour être plus efficace :
Etape 1 : Factoriser les dérivées si besoin
Etape 2 : Rechercher le signe de chaque facteur
Etape 3 : Déterminer le signe dans un tableau de signe
Etape 4 : Lorsque \\(f⟩0)\\, f est croissante
Lorsque \\(f ⟨ 0)\\, f est d croissante
Lorsque \\(f=0)\\, f est constante
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3. Tangente
Equation de la tangente de \\(f)\\ au point d'abscisse \\(a)\\
\\(y=f'\left(a \right)\left(x-a \right)+f\left(a \right))\\ \\(f'\left(a \right))\\ étant le coefficient directeur de la tangente \\(T)\\,
si \\(f'\left(a \right) ⟩ 0)\\, alors \\(T)\\ est croissante
4. Application économique de la dérivée
Lors du calcul d'un coût total ou du coût marginal
Coût marginal = (coût total)'
Prouver que \\(b)\\ est le coût marginal de \\(a)\\ consiste à dériver \\(a)\\ pour retrouver \\(b)\\.
5. Rappel sur le signe d'un trinôme du 2nd degré
On a un trinôme \\(a{x}^{2}+bx+c)\\ dans notre dérivée, pour déterminer son signe :
Etape 1 :
Calculer \\(\Delta ={b}^{2}-4ac)\\
Etape 2 :
- Soit \\(\Delta ⟨ 0)\\ pas de solution le polynme est toujours du signe a
- Soit \\(\Delta =0)\\ , le polynôme s'annule en 1 point \\({x}_{A}=\frac{-b}{2a})\\,
et est du signe de \\(a)\\ le reste du temps
- Soit , le polynôme s'annule en 2 points \\({x}_{A}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a};{x}_{B}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a})\\ et est du signe de \\(-a)\\ à l'intérieur des racines et du signe de \\(-a)\\ à l'extérieur des racines.
(Règle du compris, contraire)