Loi binomiale : la fiche de révision
La loi binomiale est utilisée en probabilité pour modéliser des situations de succès/échec répétées de manière indépendante. Loi binomiale, épreuve de Bernoulli, probabilités… Besoin d'aide pour bien comprendre ces notions mathématiques ? L'Etudiant vous a concocté une fiche de révision.
Probabilité : les définitions à connaître
En mathématiques, quand on parle de "loi binomiale", certains termes sont inévitables et pour bien comprendre cette fiche de révision : faisons le point sur les définitions à connaître.
Loi binomiale : qu'est-ce que c'est et à quoi ça sert ?
En probabilité, la loi binomiale permet de décrire le nombre de succès dans une série d'expériences identiques et indépendantes, où il existe deux résultats possibles : succès ou échec. Elle est définie par deux paramètres : le nombre total d'expériences (n) et la probabilité de succès dans chaque expérience (p). La loi binomiale permet de calculer la probabilité d'obtenir un nombre précis de succès dans un certain nombre d'expériences.
Soit n ∈ ℕ* et p ∈ ]0 ;1[. On considère le schéma de Bernoulli pour lequel n est le nombre de répétitions et p la probabilité d’un succès.
La loi de la variable aléatoire donnant le nombre de succès sur les n répétitions est appelée loi binomiale de paramètres n et p et se note B (n ; p)
Proba et schéma de Bernoulli : la définition
En proba, l'épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne peut avoir que deux résultats possibles : succès (S) ou échec (E). Chaque épreuve est indépendante des autres.
Le schéma de Bernoulli est la répétition des épreuves : il peut être représenté sous forme d'arbre pondéré. Il permet d'analyser les séquences de résultats et de déterminer des propriétés statistiques telles que la fréquence des succès, la longueur des séquences de succès ou d'échecs, etc.
Loi Binomiale : exemple
On lance trois fois successivement une pièce de monnaie non équilibrée dont la probabilité de tomber sur PILE est 0,4 et on considère la variable aléatoire X donnant le nombre de PILE obtenus.
On peut déterminer les probabilités associées à X à l’aide d’un arbre pondéré.
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La probabilité d’obtenir 2 PILE est p(X = 2) = 0,4 x 0,4 x 0,6 + 0,4 x 0,6 x 0,4 + 0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,288.
Propriété : Probabilités et loi binomiale, la formule
Soit X une variable aléatoire suivant la loi B ( n ; p).
Pour tout entier k dans [0 ; n], on a
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Démonstration
Sur un arbre représentant le schéma de Bernoulli associé à X, chaque chemin (de n branches) correspondant à k succès « contient » k branches dont les pondérations sont p et n-k branches dont les pondérations dont 1-p : la probabilité lui étant associée est donc p^k x (1 - p)^n-k
Le nombre de chemins correspondant à k succès est égal au nombre de façons de placer k pondération p sur n branches soit
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Il en résulte que la probabilité d'obtenir k succès est
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Exemple
Dans l’exemple précédent, on retrouve
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Propriété : Espérance, variance et écart-type suivant
Pour X, variable aléatoire suivant la loi B ( n ; p ), on a :
L'espérance E(X) = np
La variance V(X) = np (1-p)
L'écart type
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Exemple
La variable aléatoire X suivant la loi B (20 ; 0,6) a
pour espérance E(X) = 20 x 0,6 = 12
pour variance V(X) = 20 x 0,6 x 0,4 = 4,8
et pour écart type
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Propriété : Forme du diagramme en barres associé
Pour X, variable aléatoire suivant la loi B (n ; p), le diagramme en barres associé à X est en forme de cloche, approximativement centré sur son espérance E(X).
Exemple
Le diagramme en barres associé à la loi B(20 ; 0,6), sur lequel k varie de 0 à 20 en abscisses, montre, pour chaque valeur de k, la hauteur de la barre correspondant à p(X=k).
Par exemple, pour k=10, la hauteur de la barre est
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Le diagramme est en forme de cloche et approximativement centré sur 12 : l’espérance correspondant à cette loi.
Ce diagramme est quasiment symétrique par rapport à la droite d’équation x=12 tracée en pointillés.
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