Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers

Mathématiques
3ème

DIVISION EUCLIDIENNE

· Définition

o On appelle nombres entiers naturels les nombres qui servent à dénombrer les objets. Il s’agit donc de tous les entiers positifs.

 

· Propriété

o Soient a et b deux nombres entiers naturels, avec bCapture.

Effectuer la division euclidienne de a par b, cela revient à chercher le quotient q et le reste r tels que :

bbCapture

· Exemple :

bbbCapture

·Astuce :

o La plupart des calculatrices de type collège ont une touche qui permet de trouver le quotient et le reste de la division euclidienne.

 

DIVISEURS ET MULTIPLES

·Définition :

o Lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul, on obtient l’égalité suivante :

a = b x q + 0 c’est-à-dire a = b x q

o On dit alors que a est un multiple de b.

o Et  que b est un diviseur de a, ou que b divise a, ou encore que a est divisible par b.

 

· Remarque :

o Tout nombre entier est au moins divisible par 1 et par lui-même.

o Un nombre entier est divisible par 2 s’il est pair (il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8).

o Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.

o Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4.

o Un nombre entier est divisible par 5 s’il se termine par 5 ou 0.

o Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

o Un nombre entier est divisible par 10 s’il se termine par 0.

NOMBRES PREMIERS

 

·Définition :

o   On dit qu’un nombre est un nombre premier s’il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

 

·Exemples :

o   5 est un nombre premier, il admet exactement deux diviseurs : 1 et 5.

o   13 est un nombre premier, il admet exactement deux diviseurs : 1 et 13.

 

·Remarques :

o 1 admet un seul diviseur (1), il n’est donc pas un nombre premier.

o 2 est le seul nombre premier pair.

o Il existe une infinité de nombres premiers.

 

·Propriété :

o Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut s’écrire comme un produit de nombres premiers. On dit qu’on écrit la décomposition en produit de facteurs premiers.

Exemples : 44 = 2 x 2 x 11      1250 = 2 x 5 x 5 x 5 x 5

 

FRACTIONS IRREDUCTIBLES

· Définitions :

o Simplifier une fraction, c’est trouver une fraction égale avec un dénominateur plus petit.

o Une fraction est dite irréductible lorsqu’on ne peut plus la simplifier.

 

· Méthode :

o Si le dénominateur et le numérateur sont des petits nombres, on utilise les critères de divisibilité pour trouver les diviseurs communs puis simplifier.

o Si le dénominateur et le numérateur sont de plus grands nombres, on peut décomposer en facteurs premiers pour faire ressortir les diviseurs communs.

· Astuce :

o La plupart des calculatrice collège ont une touche qui permet de modifier le type de l’écriture pour le résultat : écriture décimale ou fraction irréductible.

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