Comprendre ce qu’est une identité remarquable en mathématiques
Une identité remarquable est une équation qui établit une égalité toujours vraie entre des expressions algébriques, indépendamment des valeurs des variables qu'elles contiennent, à condition que ces dernières respectent les domaines de définition nécessaires. Ces identités sont considérées comme « remarquables », car elles simplifient le calcul et la transformation des expressions algébriques. Explication.
Quelles sont les trois identités remarquables ?
Il existe trois identités remarquables que l’on apprend au collège :
● Le carré d’une somme ;
● Le carré d’une différence ;
● Le produit de la somme par la différence.
Mis sous forme de formules, ces trois identités remarquables sont les suivantes :
● (a + b)² = a² + 2ab + b²
● (a - b)² = a² - 2ab + b²
● (a + b)(a - b) = a² - b²
Les trois identités remarquables
Voyons dans le détail les formules de ces identités remarquables.
Le carré d’une somme
Lorsque vous avez une expression où deux nombres sont additionnés et que le tout est élevé au carré, vous pouvez utiliser cette identité remarquable pour simplifier l'expression.
La formule est :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Cela signifie que le carré d'une somme est égal au carré du premier terme, plus deux fois le produit des deux termes, plus le carré du second terme.
Le carré d’une différence
Cela ressemble beaucoup au carré d'une somme, mais pour une différence.
La formule est :
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Ce qui signifie que le carré d'une différence est égal au carré du premier terme, moins deux fois le produit des deux termes, plus le carré du second terme.
Le produit de la somme par la différence
Cette identité remarquable est utilisée quand vous multipliez une somme par une différence.
La formule est :
(a + b)(a - b) = a² - b²
Cela veut dire que le produit d'une somme par une différence est égal au carré du premier terme moins le carré du second terme.
Définition d’un produit remarquable
Un produit remarquable désigne une formule ou une identité algébrique qui permet de simplifier la multiplication de certains polynômes en utilisant des règles spécifiques, sans avoir besoin de développer entièrement l'opération terme par terme. Ces produits remarquables sont très utiles pour factoriser ou développer des expressions algébriques, simplifier des calculs, et résoudre des équations plus facilement.
Rappel : Un polynôme est une expression algébrique composée de variables (aussi appelées indéterminées) et de coefficients combinés uniquement par des opérations d'addition, de soustraction, de multiplication, et de puissances entières non négatives des variables
Définition d’une somme remarquable
C’est le carré d’une somme qui est une identité remarquable et dont la formule est la suivante : (a + b)² = a² + 2ab + b²
Comment factoriser deux identités remarquables ?
La factorisation d'identités remarquables implique de réécrire une expression algébrique sous une forme qui met en évidence un produit de facteurs, en utilisant les règles des identités remarquables. C'est en quelque sorte le processus inverse du développement de l’équation.
Par exemple, pour factoriser le carré d’une somme, voici ce que vous devez faire :
● cherchez une expression qui correspond à la forme a² + 2ab + b² ;
● écrivez-la sous la forme simplifiée (a + b)²
Par exemple, pour factoriser 𝒙² + 6𝒙 + 9 , vous reconnaissez que cela peut s’écrire (𝒙 + 3)², car et 3² = 9 et 2 x 𝒙 x 3 = 6𝒙
D’autres identités remarquables
En plus des identités remarquables enseignées au collège et au lycée, il existe des identités et formules en mathématiques qui peuvent être considérées comme remarquables. Ces identités sont utiles dans divers domaines des mathématiques, notamment en algèbre avancée, en trigonométrie, et en analyse. En voici quelques exemples :
● les identités remarquables de trigonométrie ;
● les identités de Viète ;
● les sommes de Newton ;
● l’identité d’Euler dans les nombres complexes ;
● l’identité de binôme de Newton.
Mais pas de panique, vous ne pratiquerez ces formules qu’au stade avancé de votre parcours de mathématicien en herbe !
Les identités remarquables sont particulièrement utiles pour simplifier les expressions et résoudre des équations algébriques. Elles permettent également une meilleure compréhension des propriétés fondamentales des nombres et des opérations algébriques.
