Géométrie : comment calculer les angles d'un triangle rectangle ?
Calculer les angles d’un triangle rectangle constitue le cœur de la trigonométrie. Cette branche des mathématiques permet en fait de connaître les angles de bien des formes géométriques, quitte à les redécouper en triangles rectangles !
Quadrilatère, rectangle, triangle et triangle rectangle : rappel des définitions
Avant de voir comment calculer les angles d’un triangle rectangle, révisions d’abord les spécificités de quelques formes géométriques bien connues.
● Quadrilatère : figure géométrique plane, dotée de 4 côtés (et par conséquent de 4 angles) ;
● Rectangle : quadrilatère dont les 4 angles sont droits (angles à 90°) ;
● Triangle : figure géométrique plane dotée de 3 côtés (et par conséquent de 3 angles) ;
● Triangle rectangle : triangle doté d’un angle droit (angle à 90°).
Le calcul des angles d’un rectangle et d’un triangle
Revoyons maintenant comment calculer les angles au sein d’un rectangle ou d’un simple triangle à l’aide de quelques règles de géométrie indispensables.
Connaître les angles d’un quadrilatère ou d’un rectangle ABCD
ABCD est un quadrilatère dont A, B, C et D représentent chacun de ses 4 sommets. Chaque quadrilatère possède la propriété suivante : la somme de ses 4 angles est toujours égale à 360°. Si on connaît les angles A, B et C, on peut donc déduire l’angle D en soustrayant la somme des 3 autres à 360, soit D = 360 - (A + B + C).
Le calcul des angles d’un rectangle ABCD est très simple dans la mesure où chacun de ses angles est droit, soit égal à 90°. Si un quadrilatère a au moins 3 angles droits, alors c’est un rectangle : son quatrième angle est forcément droit lui aussi. À noter que puisqu’un rectangle est un quadrilatère, la somme de ses 4 angles droits demeure 360° (90 x 4 = 360).
Calculer les angles d’un triangle ABC : la règle des 180°
Si l’on prend un triangle ABC, dont A, B et C représentent chacun des 3 sommets, on constate cette fois que s’applique la règle des 180° : celle-ci signifie que la somme des angles d’un triangle sera toujours égale à 180°.
Sur le même principe que la somme des 360° chez les quadrilatères, on peut déduire le troisième angle d’un triangle si deux de ses angles sont déjà connus.
Dans le cas d’un triangle isocèle, où deux côtés ont la même longueur, deux angles sont aussi égaux. Cela permet de calculer ses angles encore plus facilement si l’on connaît seulement son angle de sommet : angle = (180 - angle de sommet) ÷ 2
Les notions à connaître pour le calcul des angles d’un triangle rectangle ABC ?
Nous pouvons à présent voir comment calculer les angles au sein d’un triangle rectangle grâce à de célèbres relations trigonométriques.
Le théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore ne s’applique que dans les cas d’un triangle rectangle. Il permet de calculer la longueur d’un de ses côtés - ou inversement, de démontrer grâce aux longueurs de certains côtés qu'il s’agit d’un triangle rectangle.
Ce théorème fondamental des mathématiques repose sur l’une des 3 longueurs du triangle appelée hypoténuse. Il s’agit de celle qui se situe en face de l’angle droit, et ce sera systématiquement le plus grand côté des trois qui constituent un triangle rectangle. Dans un triangle rectangle ABC, où l’angle droit est B, l'hypoténuse est donc le côté AC.
Pythagore a ainsi théorisé que le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des 2 autres côtés (soit dans notre exemple, AC2 = AB2 + BC2). Si l’on prend le théorème à revers, et que l’on tombe sur ce calcul après avoir mesuré chaque longueur d’un triangle, on peut démontrer que l’angle opposé au plus grand côté est de 90°.
Pour aller plus loin :
Le cosinus
Si on cherche à mesurer l’angle A de mon triangle rectangle cette fois, on va avoir besoin du cosinus. Derrière ce terme se cache une fonction trigonométrique propre à la forme du triangle rectangle. Le cosinus concerne chacun de ses 2 angles aigus (mais pas son angle droit).
Pour l’appliquer, il faut d’abord repérer le côté adjacent de l’angle en question. Si pour notre angle A, 2 côtés adjacents sont visibles (AB et AC), nous avons vu qu’AB était déjà l’hypoténuse de notre triangle rectangle. C’est donc par déduction AC qui incarne ici l’angle dit adjacent.
Prenons ensuite les mesures de notre côté adjacent AC (on appellera le résultat a) et de notre hypoténuse AB (on l’appellera h). Le cosinus de notre angle A sera le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse :
Cosinus A = a ÷ h
Le résultat du cosinus commencera alors forcément par 0,.. (L’hypoténuse étant systématiquement supérieure au côté adjacent). Ce nombre pourra être converti en degrés à l’aide d’une calculatrice (grâce à la touche « cos-1 », suivie de la valeur du cosinus mise entre parenthèses). Le résultat contiendra très probablement de nombreuses décimales, que l’on peut aisément arrondir au dixième.
Le sinus
Passons au sinus, autre fonction trigonométrique reposant sur le même principe que le cosinus, mais s’appliquant entre le côté opposé de l’angle et l'hypoténuse. Toujours pour découvrir la mesure de notre angle A, prenons son hypoténuse AB, et le côté qui lui est opposé, ici BC. Le sinus sera alors égal à la longueur du côté opposé (on l'appellera o) divisé par celle de l’hypoténuse (h), soit Cosinus A = a ÷ h). Là aussi, le résultat nécessite d’utiliser la fonction correspondante de sa calculatrice (« sin-1 ») pour obtenir la mesure en degrés de l’angle A.
La tangente
Enfin, la tangente incarne le troisième rapport trigonométrique, liant cette fois le côté adjacent et le côté opposé de l’angle A, dans notre triangle rectangle ABC. La tangente demande de diviser la longueur du côté opposé (o) par celle du côté adjacent (a), soit Tangente A = o ÷ a. Encore une fois, la fonction « tan-1 » d’une calculatrice pourra convertir le résultat en degrés.
On peut résumer ainsi chacune de ces formules trigonométriques :
● Cosinus(angle) = Adjacent ÷ Hypothénuse.
● Sinus(angle) = Opposé ÷ Hypothénuse.
● Tangente(angle) = Opposé ÷ Adjacent.
Mais comment réussir à se souvenir de ces formules afin de calculer les angles d’un triangle rectangle en pleine interrogation écrite ? Eurêka, il existe la formule mnémotechnique « Cah-Soh-Toa » (qu’on peut lire plus vulgairement « casse-toi »). Vous aurez remarqué qu’elle reprend la première lettre de chaque composant des formules ci-dessus !
