Qu’est-ce que l'homothétie ?
Homothétie : ce drôle de nom ne vous dit rien ? C’est une expression mathématique qui désigne une transformation géométrique pour agrandir ou réduire une figure. On vous explique.
Quel est le principe de l'homothétie ?
En mathématiques, l’homothétie permet d’agrandir ou de rétrécir une figure géométrique en respectant ses proportions. La forme obtenue est soit plus grande, soit plus petite, mais conserve sa forme et ses proportions initiales.
Définition de l’homothétie
Le terme d'homothétie est dû au mathématicien français Michel Chasles. Il est composé de deux éléments d'origine grecque : le préfixe homo (qui signifie semblable) et thesis (qui signifie position). Concrètement, il faut comprendre qu’une homothétie est une figure parfaitement identique à la forme originale, mais en format agrandi ou rétréci.
Quels sont les deux éléments caractéristiques d’une homothétie ?
Les deux éléments caractéristiques d'une homothétie sont le centre d'homothétie et le rapport d'homothétie.
Le centre d'homothétie
C'est le point fixe autour duquel tous les autres points sont agrandis ou réduits. Dans une transformation par homothétie, le centre d'homothétie reste invariant, c'est-à-dire qu'il ne change pas de position.
Le rapport d'homothétie
C'est le facteur par lequel les distances entre les points sont multipliées. Si le rapport d'homothétie est supérieur à 1, l'image est agrandie. Si le rapport est inférieur à 1 mais positif, l'image est réduite. Si le rapport est négatif, en plus de l'agrandissement ou de la réduction, l'image subit une rotation de 180 degrés par rapport au centre d'homothétie.
Calculer une homothétie
Maintenant que vous connaissez la définition de l'homothétie, voyons comment procéder pour construire une transformation géométrique de ce type.
Construire l’image d’un point par une homothétie
La première étape, pour construire une homothétie, nécessite de trouver son centre, mais aussi de déterminer de combien de fois vous souhaitez agrandir la figure géométrique (le rapport).
Pour rappel, le centre d'homothétie est le point fixe à partir duquel tous les points de la figure originale sont agrandis ou réduits. Il peut être situé sur la figure elle-même ou en dehors.
Quant au rapport d'homothétie, dénommé « k », il indique combien de fois la taille de la figure originale est agrandie ou réduite :
● Si k>1, la figure est agrandie ;
● Si 0<k<1, la figure est réduite ;
● Si k<0, la figure est agrandie ou réduite, mais aussi inversée par rapport au centre.
Voici maintenant la méthode pour construire l’image d’un point par homothétie :
Tracer une droite entre le point original et le centre d'homothétie ;
prenez le point dont vous souhaitez trouver l'image par homothétie et tracez une droite passant par ce point et le centre d'homothétie ;
mesurer la distance entre le point original et le centre d'homothétie ;
utilisez une règle pour mesurer la distance entre le point original et le centre d'homothétie ;
calculer la nouvelle distance en utilisant le rapport d'homothétie ;
multipliez la distance mesurée à l'étape 3 par le rapport d'homothétie k.
Cela vous donne la distance entre le centre d'homothétie et l'image du point par l'homothétie. Il vous faut ensuite :
marquer l'image du point ;
à partir du centre d'homothétie, mesurez la nouvelle distance calculée à l'étape 4 le long de la droite tracée à l'étape 2. Le point où cette distance atterrit est l'image du point par homothétie.
Bon à savoir : si le rapport d'homothétie est positif, mesurez dans la même direction que le point original par rapport au centre. Si le rapport est négatif, mesurez dans la direction opposée.
Comment faire une homothétie de rapport 2 ?
Pour réaliser une homothétie de rapport 2, vous allez agrandir une figure géométrique, un point ou un ensemble de points en multipliant leurs distances par rapport à un centre d'homothétie fixe par 2. Voici les étapes à suivre.
Étape 1 : Choisir le centre d'homothétie (C)
Vous devez déterminer le point qui servira de centre pour l'homothétie. Ce point peut être situé n'importe où par rapport à la figure initiale, y compris à l'extérieur de celle-ci.
Étape 2 : Déterminer le rapport d'homothétie (k = 2)
Dans notre cas, le rapport d'homothétie est de 2, ce qui signifie que la taille de la figure sera doublée.
Étape 3 : Appliquer l'homothétie à un point ou à une figure
Vous devez procéder de la manière suivante :
● Pour un point : si vous appliquez l'homothétie à un point spécifique, tracez une droite entre ce point et le centre d'homothétie (C). Mesurez la distance entre le point et C, puis doublez cette distance. Marquez le nouveau point sur la droite, à la distance doublée à partir de C. Ce nouveau point est l'image de votre point original par l'homothétie de rapport 2.
● Pour une figure : appliquez le même processus à chaque point de la figure. Pour chaque point, tracez une droite passant par ce point et le centre d'homothétie, mesurez la distance entre le point et le centre, doublez cette distance, et marquez le nouveau point. L'ensemble des nouveaux points formés par ce processus constitue la figure agrandie.
Étape 4 : Construire l'image de la figure
Une fois tous les nouveaux points marqués, reliez-les en suivant le même schéma que la figure originale pour construire l'image agrandie de la figure. Cette nouvelle figure sera exactement deux fois plus grande que l'originale dans toutes les dimensions, tout en conservant les mêmes proportions et la même orientation par rapport au centre d'homothétie.
Savoir comment trouver le centre d’une homothétie
Pour trouver le centre d’une homothétie, il suffit de tracer deux droites entre les sommets de la figure initiale et les sommets de la figure homologue. Le point d'intersection des deux droites est le centre d'homothétie.
L'homothétie est utile dans de nombreux domaines. Par exemple, les artistes et les designers l’utilisent pour créer des œuvres d'art ou des objets de design qui sont proportionnellement agrandis ou réduits. Cela leur permet de maintenir l'harmonie et les proportions dans leurs créations lors du passage d'une échelle à une autre. C’est aussi une propriété géométrique utile dans l’architecture ou dans les métiers de l’ingénierie, alors mieux vaut bien comprendre son fonctionnement.
