Dérivation et variations

Mathématiques
Terminale ES

Dérivation et variations

La dérivée permet de d'étudier les variations d'une fonction sur son domaine de définition.
 

1. Dérivées et calcul de dérivées


 null
null


2. Utilisation de la dérivée
 

En terminale ES, la dérivée sert à déterminer les variations de la fonction.
Pour être plus efficace :

 Etape 1 : Factoriser les dérivées si besoin
 Etape 2 : Rechercher le signe de chaque facteur
 Etape 3 : Déterminer le signe dans un tableau de signe
 Etape 4 :  Lorsque \\(f⟩0)\\, f est croissante
                       Lorsque \\(f ⟨ 0)\\, f est d croissante
                       Lorsque \\(f=0)\\, f est constante
null


3. Tangente
 

Equation de la tangente de \\(f)\\ au point d'abscisse \\(a)\\

\\(y=f'\left(a \right)\left(x-a \right)+f\left(a \right))\\ 

\\(f'\left(a \right))\\  étant le coefficient directeur de la tangente \\(T)\\,
si  \\(f'\left(a \right) ⟩ 0)\\,  alors  \\(T)\\ est croissante
 
 

4. Application économique de la dérivée
 

Lors du calcul d'un coût total ou du coût marginal

Coût marginal = (coût total)'

Prouver que \\(b)\\ est le coût marginal de \\(a)\\ consiste à dériver \\(a)\\ pour retrouver \\(b)\\.

 

5. Rappel sur le signe d'un trinôme du 2nd degré

 

On a un trinôme \\(a{x}^{2}+bx+c)\\  dans notre dérivée, pour déterminer son signe :
 

Etape 1 :
 

Calculer \\(\Delta ={b}^{2}-4ac)\\
 

Etape 2 :
 

- Soit \\(\Delta ⟨ 0)\\ pas de solution le polynme est toujours du signe a


- Soit \\(\Delta =0)\\ , le polynôme s'annule en 1 point \\({x}_{A}=\frac{-b}{2a})\\, 
et est du signe de \\(a)\\
 le reste du temps


- Soit , le polynôme s'annule en 2 points \\({x}_{A}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a};{x}_{B}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a})\\  et est du signe de \\(-a)\\  à l'intérieur des racines et du signe de \\(-a)\\ à l'extérieur des racines.
(Règle du compris, contraire)


 

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