La réciproque de Pythagore : définition et exemples
Comment savoir si un triangle est rectangle ? Il existe une relation entre les longueurs des côtés qui permet de savoir si un triangle est rectangle. Cette relation a été énoncée par le théorème de Pythagore et sa réciproque. Focus sur la réciproque de Pythagore.
La réciproque de Pythagore : définition et formule
La réciproque du théorème de Pythagore est un énoncé qui explore l'inverse de la relation énoncée dans le théorème de Pythagore. Elle stipule que si dans un triangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est un triangle rectangle. En d'autres termes, si c² = a² + b², alors l'angle entre les côtés de longueur a et b est un angle droit.
En somme, la réciproque de Pythagore permet de vérifier si un triangle est doté d’un angle droit, rien qu’en mesurant les longueurs de ses côtés !
Quelle différence entre réciproque et théorème de Pythagore?
Le théorème de Pythagore et sa réciproque sont deux énoncés mathématiques liés aux triangles rectangles (ceux qui ont un angle droit). Le théorème de Pythagore établit une relation entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle, tandis que sa réciproque permet de déterminer si un triangle est rectangle en vérifiant cette relation. C’est pour cela qu’on l’appelle réciproque de Pythagore : cet énoncé mathématique ne pourrait pas exister sans le théorème du même nom !
Comment faire la réciproque du théorème de Pythagore ?
Vous souhaitez vérifier qu’un triangle est rectangle ? Il faudra appliquer la réciproque de Pythagore. Voici comment vous pouvez procéder pour justifier qu'un triangle est doté d’un angle droit, et que c’est donc un triangle rectangle :
Commencer par observer le triangle. Vous avez trois côtés : a, b, et c. C’est l'hypoténuse, et a et b sont les deux autres côtés.
Écrivez l'équation du théorème de Pythagore : c² = a² + b². Cela signifie que la somme des carrés des deux côtés plus courts (a² + b²) est égale au carré du côté le plus long (c²).
Vérifiez si c'est vrai. Maintenant, mesurez les longueurs des côtés de votre triangle et calculez les carrés. Si c² est égal à a² + b², alors vous avez vérifié l'équation.
Trouvez l’angle droit. Si c'est vrai, cela signifie que votre triangle est un triangle rectangle.
Concluez. Vous pouvez conclure en disant que puisque c² = a² + b², votre triangle est un triangle rectangle avec un angle droit.
Vous avez démontré la réciproque du théorème de Pythagore en prouvant que si c² = a² + b², alors le triangle est rectangle. C'est une façon de justifier que les triangles qui satisfont cette équation ont un angle droit.
Exemples de calculs avec la réciproque de Pythagore
Le théorème de Pythagore et sa réciproque permettent de faire de nombreux calculs pour vérifier les relations entre les côtés d’un triangle rectangle. Vous pouvez calculer la longueur de l'hypoténuse ou celle d’un côté adjacent du triangle. Voici quelques exemples pratiques.
Comment savoir si un triangle est rectangle avec la réciproque ?
Pour savoir si un triangle est rectangle en appliquant la réciproque de Pythagore, il faut examiner les relations entre les longueurs du triangle. Si la longueur de l'hypoténuse au carré est égale à la somme des deux côtés au carré, alors le triangle est rectangle.
En formules mathématiques, cela donne : si c² = a² + b², alors le triangle est rectangle
La réciproque de Pythagore est ainsi très utile pour la construction des maisons. Cela permet de vérifier, par exemple, si le mur est bien droit par rapport au sol. Les maçons utilisent un triangle virtuel pour vérifier la relation entre les longueurs du mur, du sol, et de l'hypoténuse virtuelle, qui peut être réalisée avec une corde. Les menuisiers aussi, par exemple, utilisent la réciproque de Pythagore pour vérifier que les meubles, comme les tables qu’ils fabriquent, sont bien dotés d’un angle droit.
Comment calculer un autre côté que l'hypoténuse ?
Il faut appliquer le théorème de Pythagore, et non sa réciproque, pour calculer la longueur d’un côté du triangle. Pour calculer un autre côté que l'hypoténuse, voici comment procéder :
Si vous connaissez déjà la longueur de l'hypoténuse et la longueur d'un des côtés, vous pouvez utiliser la formule de Pythagore pour trouver la longueur du côté qui manque.
Pour cela, vous devez d'abord soustraire le carré de la longueur du côté que vous connaissez de carré de la longueur de l'hypoténuse.
Ensuite, vous prenez la racine carrée de cette différence pour trouver la longueur du côté manquant.
Par exemple, si vous connaissez la longueur de l'hypoténuse (c) et la longueur d'un côté (a) et que vous voulez trouver la longueur de l'autre côté (b), vous appliquez cette formule : b = √(c²- a²)
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