Résoudre des problèmes de proportionnalité

Situations de proportionnalité

Deux grandeurs (ou listes de nombres) sont proportionnelles lorsque l’on peut obtenir la deuxième à partir de la première en la multipliant par un même nombre, que l’on appelle coefficient de proportionnalité.

On dit alors que la situation est une situation de proportionnalité et le tableau obtenu à partir de ces valeurs est un tableau de proportionnalité.

Si ce n’est pas le cas, la situation ne sera pas une situation de proportionnalité.

Exemples :

• Le montant d’un plein d’essence est proportionnel au nombre de litres achetés à la pompe.
• Sur un croquis réalisé à l’échelle, la distance sur le croquis est proportionnelle à la distance réelle.
• La taille d’une personne n’est pas proportionnelle à son âge.       

Calculer une quatrième de proportionnelle

Pour résoudre un exercice dans une situation de proportionnalité, on peut avoir à calculer une quatrième proportionnelle.

On peut soit utiliser le coefficient de proportionnalité, soit utiliser la propriété suivante :

« Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux ».

Exemple :

Le tableau de proportionnalité ci-dessous représente la consommation d’essence du scooter de Marc en fonction du nombre de kilomètres parcourus.

- Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est : 

La consommation du scooter est donc de 100×0,032 = 3,2 L aux 100 kilomètres.

- En utilisant l’égalité des produits en croix dans ce tableau, on a :

La consommation du scooter de Marc est de 3,2 L aux 100 kilomètres.

Compléter un tableau de proportionnalité 

Pour résoudre un exercice dans une situation de proportionnalité ou tracer une représentation graphique, on peut avoir à compléter un tableau de proportionnalité.

Pour cela, on peut :

- utiliser le coefficient de proportionnalité s’il est donné ;

- passer par l’unité, c'est-à-dire trouver la valeur associée à une unité qui est le coefficient de proportionnalité ;

- utiliser la linéarité en effectuant des additions et des multiplications.

Exemple :

Marc achète de l’essence pour son scooter.

Nous allons compléter ce tableau ci-dessous en utilisant la linéarité d’un tableau de proportionnalité car les deux premières méthodes reviennent à calculer une quatrième proportionnelle.

Propriété :

Un tableau ou une situation de proportionnalité est associé à la représentation graphique d’une fonction linéaire.

Exemple :

La représentation graphique du montant payé (en €) en fonction du nombre de litres achetés est celle de la fonction linéaire de coefficient directeur 1,45, qui est le prix (en €) au litre d’essence.

Situations de proportionnalité particulières :

Pourcentage :

Un pourcentage décrit une situation de proportionnalité. Calculer un taux de pourcentage revient donc à calculer une quatrième proportionnelle.

Exemple :

Parmi les 144 élèves de 3^e du collège de Marc, 18 ont un scooter.

Echelle :

Dans un dessin « à l’échelle », la distance sur le dessin est proportionnelle à la distance réelle. 

On utilise la formule : « échelle » =

 (avec les mêmes unités de longueur)